리만 다양체

3. 성질

모든 매끄러운 다양체는 내시 매장 정리에 따라 리만 다양체의 구조를 가질 수 있다. 연결 리만 다양체는 곡선의 길이를 통해 정의되는 거리 함수를 사용하여 자연스럽게 거리 공간의 구조를 가진다.

리만 다양체 위에는 리만 계량을 보존하고 비틀림이 없는 유일한 아핀 접속인 레비치비타 접속이 존재한다.^[1] 이를 통해 벡터장의 평행 이동과 곡률을 정의할 수 있다. 측지선은 리만 다양체 위에서 국소적으로 거리를 최소화하는 곡선이다.

3. 1. 유클리드 공간으로의 매장

즉, 리만 다양체는 내재적으로 정의하는 대신 항상 외재적으로 유클리드 공간의 부분 공간으로 여길 수 있다.

내시 매장 정리는 임의의 매끄러운 리만 다양체 $(M,g)$에 대해, $F\backslash colon\; M\backslash to\backslash mathbb\{R\}^N$가 존재하여, $F$에 의한 $\backslash mathbb\{R\}^N$의 표준 리만 계량의 당김이 $g$가 되도록 하는 $N$이 존재한다고 말한다.

'''R'''^''n'' 위의 부분 다양체가 리만 계량 ''g''를 갖는 경우, ''g''는 각 접벡터 공간에서의 '''R'''^''n'' 위의 내적으로부터 제한된다. 실제로, 내시 매장 정리에 따르면, 모든 리만 다양체는 이와 같이 '''R'''^''n'' 위의 내적을 어떤 방식으로든 다양체 위에 사상함으로써 실현된다.

3. 2. 거리 공간 구조

연결 리만 다양체는 자연스럽게 거리 공간의 구조를 가진다. 모든 하우스도르프 파라콤팩트 다양체는 거리화 가능 공간이지만, 리만 계량과 같은 구조 없이는 거리 함수를 표준적으로 정의할 수 없다.

연결 리만 다양체 $(M,g)$ 위의 매끄러운 곡선 $\backslash gamma\backslash colon[0,1]\backslash to\; M$의 길이는 다음과 같다.

:$L(\backslash gamma)=\backslash int\_0^1\backslash sqrt\{g(\backslash dot\backslash gamma(t),\backslash dot\backslash gamma(t))\}\backslash ,dt\backslash in[0,\backslash infty)$

곡선의 길이는 매개변수화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 매끄러운 함수 $s\backslash colon[0,1]\backslash to[0,1]$에 대하여, $L(\backslash gamma\backslash circ\; s)=L(\backslash gamma)$이다.

임의의 두 점 $x,y\backslash in\; M$ 사이의 거리(distance^영어)는 두 점 사이를 잇는 곡선들의 길이의 하한이다.

:$d(x,y)=\backslash inf\_\{\backslash gamma\backslash colon[0,1]\backslash to\; M\}^\{\backslash gamma(0)=x,\backslash ;\backslash gamma(1)=y\}L(\backslash gamma)$

이는 거리 함수의 조건들을 모두 만족시키며, 추가로 길이 거리 공간을 이룬다.

연결 공간이 아닌 리만 다양체의 경우, 각 연결 성분 위에 유한한 거리를 정의할 수 있지만, 서로 다른 연결 성분 위에 있는 두 점 사이의 거리는 무한대가 된다.

'''정리:''' $(M,d\_g)$는 거리 공간이고, $(M,d\_g)$의 거리 위상은 $M$의 위상과 일치한다.

리만 다양체는 거리 공간으로 볼 수 있다. 연속적이고 미분 가능한 곡선 γ: [''a'', ''b''] → ''M''이 리만 다양체 ''M'' 위에서 주어질 때, 이 곡선의 길이 ''L''(γ)는 다음과 같이 표현된다.

:$L(\backslash gamma)\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash |\backslash gamma\text{'}(t)\backslash |\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}t.$

이 정의에서 모든 연결 리만 다양체 ''M''은 거리 공간이 되며, 점 ''x''와 점 ''y'' 사이의 거리 ''d'' (''x'', ''y'')는 다음과 같다.

:''d'' (''x'',''y'') = inf { ''L''(γ) : γ는 ''x''와 ''y''를 잇는 연속적으로 미분 가능한 곡선 }

3. 3. 레비치비타 접속

레비치비타 접속은 리만 다양체에서 리만 계량을 보존하고 비틀림이 없는 유일한 아핀 접속이다.^[1] 즉, 다음 두 조건을 만족하는 유일한 접속이다.^[1]

• 벡터의 평행 운송은 리만 계량에 대한 길이를 보존한다.
• 비틀림이 0이다.

여기서 비틀림이 없다는 조건은 $\backslash nabla\_X\; Y\; -\; \backslash nabla\_Y\; X\; =\; [X,Y]$ 로 표현되는데, $[\backslash cdot,\backslash cdot]$는 리 괄호이다.^[1]

레비치비타 접속의 존재성과 유일성은 리만 계량이 고정되면 보장된다.^[1] 이는 리만 다양체의 기하학적 성질을 연구하는 데 핵심적인 역할을 한다.

평행 이동은 리만 다양체에서 곡선을 따라 벡터를 한 접공간에서 다른 접공간으로 이동하는 방법이다. 주어진 접속에 대해 평행 이동을 수행하는 고유한 방법이 존재한다.^[1]

아래 이미지는 천공 평면 $\backslash mathbb\; R^2\; \backslash smallsetminus\; \backslash \{0,0\backslash \}$에서 두 개의 서로 다른 리만 계량에 연결된 레비치비타 접속에 의해 유도된 평행 이동을 보여준다. 평행 이동이 수행되는 곡선은 단위원이다. 극좌표계에서 왼쪽의 계량은 표준 유클리드 계량 $dx^2\; +\; dy^2\; =\; dr^2\; +\; r^2\; \backslash ,\; d\backslash theta^2$이고, 오른쪽의 계량은 $dr^2\; +\; d\backslash theta^2$이다.

3. 4. 리만 곡률

리만 다양체의 리만 곡률은 레비치비타 접속의 곡률이다. 리만 곡률은 리만 다양체가 얼마나 휘어져 있는지를 나타내는 값이다.

리만 곡률 텐서장을 축약하여 리치 곡률, 바일 곡률, 스칼라 곡률, 아인슈타인 텐서를 정의할 수 있다.

리만 곡률 텐서는 작은 직사각형을 따라 벡터를 평행 이동시키는 것이 항등 사상이 아닌 정도를 정확히 측정한다. 리만 곡률 텐서는 다양체가 유클리드 공간과 국소적으로 등거리일 때에만 모든 점에서 0이다.

$M$에 대한 접속 $\backslash nabla$를 고정하면, 리만 곡률 텐서는 $R\; :\; \backslash mathfrak\; X(M)\; \backslash times\; \backslash mathfrak\; X(M)\; \backslash times\; \backslash mathfrak\; X(M)\; \backslash to\; \backslash mathfrak\; X(M)$로 정의되는 사상이다.

:$R(X,\; Y)Z\; =\; \backslash nabla\_X\backslash nabla\_Y\; Z\; -\; \backslash nabla\_Y\; \backslash nabla\_X\; Z\; -\; \backslash nabla\_\{[X,\; Y]\}\; Z$

여기서 $[X,\; Y]$는 벡터장의 리 괄호이다. 리만 곡률 텐서는 $(1,3)$-텐서장이다.

3. 5. 측지선

측지선은 내재적인 가속도가 없는 곡선이다. 바꿔 말하면, 측지선은 두 점 사이의 최단 경로를 국소적으로 따르는 곡선이다. 이것들은 유클리드 공간에서 직선을 임의의 리만 다양체로 일반화한 것이다. 리만 다양체에 사는 개미가 가속하거나 돌리려는 노력을 하지 않고 똑바로 걸어간다면, 측지선을 따라갈 것이다.

만약 $(M,g)$가 리만 다양체이고, $\backslash gamma\; :\; [0,1]\; \backslash to\; M$가 매끄러운 곡선이라면, "$\backslash gamma$의 가속도"는 $\backslash gamma$를 따라가는 벡터장 $D\_t\backslash gamma\text{'}$이다. 모든 $t$에 대해 $D\_t\backslash gamma\text{'}\; =\; 0$이면, $\backslash gamma$를 "측지선"이라고 부른다.

모든 $p\; \backslash in\; M$과 $v\; \backslash in\; T\_pM$에 대해, $\backslash gamma(0)\; =\; p$이고 $\backslash gamma\text{'}(0)\; =\; v$인, 0을 포함하는 열린 구간 $I$에서 정의된 측지선 $\backslash gamma\; :\; I\; \backslash to\; M$이 존재한다. 그러한 두 측지선은 공통 영역에서 일치한다. $\backslash gamma(0)\; =\; p$이고 $\backslash gamma\text{'}(0)\; =\; v$를 만족하는 측지선이 존재하는, 0을 포함하는 모든 열린 구간 $I$에 대한 합집합을 취하면, $\backslash gamma(0)\; =\; p$이고 $\backslash gamma\text{'}(0)\; =\; v$를 만족하는 모든 측지선이 제한된 "최대 측지선"이라고 부르는 측지선을 얻는다.

$\backslash gamma$와 동일한 끝점을 갖는 임의의 허용 가능한 곡선에서 가장 짧은 길이를 갖는 모든 곡선 $\backslash gamma\; :\; [0,1]\; \backslash to\; M$은 측지선이다(단위 속도 재매개변수화에서).

• 유클리드 평면 $\backslash mathbb\; R^2$의 상수가 아닌 극대 측지선은 정확히 직선이다. 이는 두 점 사이의 최단 경로는 선분이라는 유클리드 기하학의 사실과 일치한다.
• 둥근 계량을 갖는 $S^2$의 상수가 아닌 극대 측지선은 정확히 대원이다. 지구는 대략 구형이므로, 이는 비행기가 지구상의 두 지점 사이를 비행할 수 있는 최단 경로는 대원의 일부임을 의미한다.

4. 예시

유클리드 공간 $\backslash mathbb\; R^n$, 초구 $\backslash mathbb\; S^n$, 원환면 $\backslash mathbb\; T^n$은 모두 리만 다양체의 예시이다. 반단순 리 군은 킬링 형식이 양의 정부호이므로 리만 계량을 이루며, 따라서 표준적으로 리만 다양체를 이룬다.

리만 다양체 $(M,g\_M)$과 그 속에 몰입된 부분 다양체 $\backslash iota\backslash colon\; N\backslash hookrightarrow\; M$가 주어졌다면, $g\_M(X,Y)=g\_M(d\backslash iota(X),d\backslash iota(Y))\backslash qquad\backslash forall\; x\backslash in\; N,\backslash ;X,Y\backslash in\; T\_xN$ 와 같이 리만 계량을 정의할 수 있다. 여기서 $d\backslash iota(X)\backslash in\; T\_\{\backslash iota(x)\}N$는 $X$의 밂이며, $(M,g\_M)$은 리만 다양체를 이룬다.

$x^1,\backslash ldots,x^n$을 $\backslash mathbb\{R\}^n$ 상의 표준 좌표라고 할 때, (정규) 유클리드 계량 텐서 $g^\backslash text\{can\}$는 다음과 같이 표현된다.

: $g^\backslash text\{can\}\backslash left(\backslash sum\_i\; a\_i\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^i\},\; \backslash sum\_j\; b\_j\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^j\}\; \backslash right)\; =\; \backslash sum\_i\; a\_i\; b\_i$

: $g^\backslash text\{can\}\; =\; (dx^1)^2\; +\; \backslash cdots\; +\; (dx^n)^2$

: $g\_\{ij\}^\backslash text\{can\}\; =\; \backslash delta\_\{ij\}$ (여기서 $\backslash delta\_\{ij\}$는 크로네커 델타)

이를 행렬로 나타내면 다음과 같다.

: $(g\_\{ij\}^\backslash text\{can\})\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$

1 & 0 & \cdots & 0 \\

0 & 1 & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & 0 & \cdots & 1

\end{pmatrix}.

리만 다양체 $(\backslash mathbb\{R\}^n,g^\backslash text\{can\})$을 유클리드 공간이라고 부른다.

5. 역사

1827년, 카를 프리드리히 가우스는 3차원 공간에 놓인 곡면의 가우스 곡률이 곡면 내에서 이루어진 국소 측정(제1 기본 형식)에만 의존한다는 뛰어난 정리(Theorema Egregium)를 발표하였다. 이는 곡면의 가우스 곡률이 곡면의 내재적 속성임을 의미한다.

베른하르트 리만은 1854년에 리만 다양체와 그 곡률을 비엄밀하게 도입하였다.^[1] 리만 다양체의 개념은 이후 헤르만 바일, 엘리 카르탕, 툴리오 레비-치비타 등에 의해 엄밀하게 정의되었다. 엘리 카르탕은 최초의 접속 개념 중 하나인 카르탕 접속을 도입했고, 레비-치비타는 리만 다양체에 대한 특수한 접속인 레비-치비타 접속을 정의했다.

알베르트 아인슈타인은 일반 상대성 이론을 개발하기 위해 유사 리만 다양체 이론을 사용했다. 아인슈타인 장 방정식은 4차원 유사 리만 다양체인 시공간의 곡률에 대한 제약 조건이다.

6. 응용

리만 다양체의 개념은 1828년 카를 프리드리히 가우스가 증명한 뛰어난 정리까지 거슬러 올라간다. 이 정리는 곡면의 가우스 곡률이 곡면이 3차원 공간에 어떻게 매립되는지에 의존하지 않고, 단순히 각도나 길이를 정하는 계량 텐서에만 의존한다는 것이다. 가우스의 제자였던 리만은 가우스의 정리를 다양체라고 불리는 고차원 공간으로 확장했다. 알베르트 아인슈타인은 상대성 이론에서 리만 다양체의 개념을 이용하고 있다.

리만 거리란 다양체 상의 각 점에 주어진 계량 텐서에 의해 점과 점을 잇는 거리를 다양화한 것이다. 리만 거리를 사용하면, 각도나 곡선의 길이 등의 기하학적 성질이 다양체 상에서 정의 가능하다.